【コラム】その期待値の使い方、間違っていませんか？

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確率統計その他まとめ http://himajin.diarynote.jp/201304122133442733/

カードゲームプレイヤーの多くは確率論に準拠した構築やプレイングをしていると思います。しかし確率というのはある程度万能な反面、複雑な状況であればあるほど計算が大変になり全然手に負えないものも多いですよね。そこで確率の代わりに頻繁に使われるのが期待値です。期待値自体は確率を用いて考えられる概念なので一見すると確率が計算出来ないならば期待値も計算出来ないように思ってしまいますが、実際は確率を直接使わずに分布を使うだけで簡単に計算できる点で期待値は非常に優れています。ですから確率計算まではちょっと苦手・・という人でも期待値を考慮して構築する人は相当数いらっしゃるのではないでしょうか。

しかしながら実はこの期待値、かなり多くの頻度で間違った使われ方をされているのです。今回はそういった知っておくと便利な期待値の基本をまとめて
・期待値の計算の仕方
・サンクトペテルブルクのパラドックス
・期待値の向き不向き
・バベルの不安定性と分散
の４つについて解説させていただきます。結構長い記事になりますが、サンクトペテルブルクのパラドックスとカード比率が60枚デッキと等しいバベルでも事故が多い理由を両方知っている人なら全然読む必要がない記事です。なお確率というと1で規格化するものと100％で規格化するものの２つがありますが、本質的に違いはないのでここでは1で規格化します。


【期待値の計算の仕方】
まずはそもそも期待値とは何なのかについて復習しましょう。大雑把に言えば、あるイベントにおけるある量Vの期待値Eとは、そのイベントを同じ条件で大量に繰り返した時のVの値の平均値です。例えば60枚のデッキに土地が20枚入っているとして、7枚引いた時の土地枚数を考えるとしましょう。その期待値は、
　(土地0枚の確率)×0
　(土地1枚の確率)×1
　(土地2枚の確率)×2
　　　　：
　(土地7枚の確率)×7
の和です。では(土地2枚の確率)はどうなるかというと、愚直には土地が2枚のパターン数（20!/18!）×(40!/35!)×(7!/2!5!)を考えうる7枚の組み合わせすべてのパターン数(60!/7!53!)で割ったもの。とてもじゃないけど計算は面倒ですね。関数電卓やエクセルや計算ソフトユーザーはそっちの方が便利なのですが、普通の電卓を使う場合はもっとお利口さんに、1枚引くというイベント７回分の対称性をうまく使って
　(20/60)×(19/59)×(40/58)×(39/57)×(38/56)×(37/55)×(36/54)×(7!/2!5!)
と計算するといいでしょう。しかしながらまだまだ計算は時間がかかりそう。期待値を生真面目に確率で計算するのはなかなか大変なのです。そこで代わりの方法として、単に分布を計算するというものがあります。デッキ60枚のうち20枚が土地ならば、デッキ1枚は平均して土地1/3枚分。つまり7枚引けば土地7/3=2.33‥枚分、という計算ができるのです。この計算の方法、改めて考えてみるとそこそこ驚くべきことですが、ちゃんと確率を使ってごりごり計算した結果とまったく同じ値になります。このように、期待値を計算するだけなら分布を用いることで一気にショートカットできるのです。

本来は各パターンごとの確率を計算する必要があり、またそれぞれの計算も愚直には1枚引いて何を引く確率、その状態で次の1枚を引いて何を引く確率、その状態で‥と繰り返してちゃんとした確率が分かります。過剰に大げさな言い方をすると、複数のイベントの複数の可変な繰り返しにおける結果の確率をいちいち決定した上でそれらのソースを組み合わせて計算しなくてはいけなかったのが、分布を用いた計算だとデッキ内の最初の分布だけをソースに１回で計算できてしまうのです。1枚引いた後の分布の変化とかを細かく計算する必要もないというなんと楽なものでしょう。


【サンクトペテルブルクのパラドックス】
しかしながら期待値は確率ほどの万能性はありません。上の例は期待値が非常に簡単に計算出来ましたが、本来は複数の確率ソースを組み合わせて計算すべきものをショートカットして最初の分布ソースだけで計算できたということは、実はかなり多くの情報が落ちるような計算であるということです。実際に確率でははっきり分かることなのに期待値を見てしまったら何も分からなくなってしまう極端な例を見ましょう。

いつも仲良しの３人組、たかしくんとたかしまくんとさかしまくんは次のような会話をしています。

たかしまくん「この前貸した《島》20枚返して下さいませんか？」
たかしくん「忘れていました。どうせなら利子ということで25枚返しますよ。」
たかしまくん「いいのですか？ではちょうど23枚欲しかったので23枚でお願いします。」
たかしくん「いやいや25枚あげますよ。これはほんの気持ちです。」
さかしまくん「せっかくですので次のようなゲームで返却枚数を決めるのはどうですか？」

たかしまくんは最初に持ち点が20点あります。まず持ち点から1点単位で好きなだけ点数を賭けます。1点以上の点数を賭けたならば、裏が出るまでコインを振ります。表が出た回数をN回として、たかしまくんは(賭け点)×(2のN-100乗)の点数を得るとしましょう。例えば最初に裏が出たら賭け点の(2の-100乗)しかもらえないので損をします。賭け点の精算が終わったら、また同じ賭けを繰り返すことができます。賭けを繰り返さないことを選ぶか持ち点が1点未満になった場合にゲームは終了し、最終得点の小数点以下を切り捨てた値と同じ枚数だけたかしくんはたかしまくんに《島》を贈呈します。

たかしくん「それ、賭けて得をするには100回より多く表を出す必要がありますから・・誰も賭けませんよね？実質20枚渡すだけでしょう。」
たかしまくん「でも１点賭けて104回勝つと・・20枚が20-1+16で35枚ももらえるんですね。まあありえない話ですが。」
さかしまくん「そうでしょうか？確率は0ではありませんよ？じゃあ期待値で決めてみるのはいかがですか？」
たかしまくん「そうですね、もし万が一このゲームの最終得点の期待値が20を下回らないのでしたらやってみますよ・・。」

さて実際に期待値を計算してみましょうか。といっても賭けをするかしないかはプレイヤー依存の選択なので、1回だけ1点を賭けると決めた上で考えます。裏が出るまでコインを投げて表がN回出る確率はもちろん(2の-N乗)です。というわけで、1回の賭けで得られる点数の期待値は
　(賭け点1)×(2の-100乗)×(2の0乗)＝(2の-100乗)
　(賭け点1)×(2の-99乗)×(2の-1乗)＝(2の-100乗)
　(賭け点1)×(2の-98乗)×(2の-2乗)＝(2の-100乗)
　　　　：
　(賭け点1)×(2の0乗)×(2の-100乗)＝(2の-100乗)
　(賭け点1)×(2の1乗)×(2の-101乗)＝(2の-100乗)
　　　　：
の無限和、つまり、∞に発散してしまいます。従ってこのゲームで1回だけ賭け点1で賭けた場合の最終得点の期待値は20-1+∞＝∞なわけです。何ということでしょう、確率的にはほとんど損をするのに期待値を計算するとごくごく稀な得が積み重なってやり得なゲームという結果になってしまったのです。このように期待値がまるで直感的でない計算結果を生んでしまう現象を、サンクトペテルブルクのパラドックスと言います。この結果自体は期待値が誤りを含む概念であるということを表しているのではなく、人間の心理が１．ごくごく稀な得を完全に0と認識して２．必要以上の得は無意味と考えることが期待値の趣旨とそぐわないというだけのことです。それもそうでしょう。たかしまくんは《島》が23枚あれば十分だと思っているので、気にすべきは23枚以上得られる確率(2の-102乗)の方であって100枚1000枚得ても仕方ないわけです。このように、枚数が増えれば増えるほど1枚の価値が変わっていく場合はその価値を考慮した効用関数というものを考えなければいけない、というのが以前否定論の記事（http://himajin.diarynote.jp/201310072207186169/）で紹介した行動経済学のAllais理論ですね。

たかしまくん「裏が出ました。・・・これで表は120回なので、えーと《島》1048595枚ですね。」
たかしくん「・・市場に出回ってる島の枚数が気になってきますね。」


【期待値の向き不向き】
先程説明した効用関数がまっすぐな直線のグラフを持つ場合、期待値は有意義になりやすいです。これは1枚1枚の価値が何枚目の時点でも同じであると換算したい場合ということですね。もちろんこれは１つの指標でして、かなり雑です。実際にはそういう線形な状況でも期待値はかなり危ないツールになりえます。それはそうとして、その線形な状況のまったく逆を考えましょう。もし効用関数がある値から先0になる場合、期待値の計算はものすごく無駄があることがお分かりでしょうか。つまりこれは、ある程度枚数があった場合はそれ以降の1枚の価値が皆無な状況、すなわち先程のお話での《島》の例などです。効用関数が0になる閾値、つまり必要枚数のゴールがある時点で、ゴールの枚数を得ることとゴール以上の枚数を得ることはイベントとして何ら区別する必要はなく、期待値で平均化するよりゴールに到達できる確率を求めるほうがずっと有意義なのです。

例えばMTGの初期ライフは20。ライフゲインがないとすると、20点削るのと40点削るのは同じこと。《ショック》と《稲妻》の差1点は天と地ほどの大きさがありますが、仮に

《すごい火力》 (20)(赤)
インスタント
各対戦相手に100点のダメージを与える。

というカードと

《やばい火力》 (20)(赤)
インスタント
各対戦相手に200点のダメージを与える。

というカードがあってもこの100点差はないも同然なわけです。この無視すべき差も重大な差として考慮してしまうのが期待値であり、ゴール付きの計算でいかに期待値が確率より劣るかが分かると思います。

ゴールがある場合、それを超える値同士の差にはあまり意味がないと書きましたが、逆にゴールを超えない値同士の差にも意味がない状況は多々あります。こんなカードを考えましょう。

《ちょっとすごいショック》 (赤)
インスタント
プレイヤー１人かクリーチャー１体を対象とする。コインを１０枚投げ、全て表が出た場合それに20点のダメージを与え、そうでない場合それに2点のダメージを与える。

これと《稲妻》だったらどっちをデッキに入れますか？期待値的にも《ちょっとすごいショック》は2.01点で《稲妻》より劣っていますし、確率的にも0.999で《稲妻》のの方が優れています。なので構築としては期待値・確率ともに《稲妻》の方が優れているカードでしょう。ではプレイング面ではどう変わるでしょうか？あなたの手札に《稲妻》と《ちょっとすごいショック》の２枚があり、マナはもう(赤)しかありません。ターンを返したら負けなので対戦相手に打ちたいのですが、相手のライフは4。こうなると《ちょっとすごいショック》を唱えるほうが正解なことは言うまでもないでしょう。どう見ても弱い《ちょっとすごいショック》が強くなることがあるのは何故か、これを期待値や確率で見ることは難しいですね。では何を計算すればこの《ちょっとすごいショック》のすごさを理解できるのでしょうか？それが期待値と対をなす重要な概念である、分散です。残念なことにMTGプレイヤーにはこの分散を極端に軽視して期待値で計算してしまう人が大多数に見えます。上のような飛躍した例では分散の必要性はわからないかもしれないので、次の重要なお話を見てみましょう。


【バベルの不安定性と分散】
バベル大好きたかしくんと60枚デッキ至上主義のたかしまくんが議論をしています。そこにさかしまくんが現れました。

たかしまくん「強いカード比率を最大限高められる60枚デッキが一番優れていると思います。」
たかしくん「同型再版や役割の近いカードを大量に投じることで、300枚デッキでも60枚デッキとほぼ同じカード比率を実現でき、ライブラリーアウトに強い分バベルのほうが強いと思います。」
さかしまくん「では、カードの４枚制限をなくしたルールならどうでしょうか？」
たかしまくん「それならば60枚とまったく同じカード比率でライブラリーアウトを回避できる300枚の方が強いことは間違いないでしょうね。」
さかしまくん「確かにカード比率が同じならば様々な確率や期待値が同じになります。でも本当にすべてが同じでしょうか？」

実は、記事の冒頭の方に書きましたようにまったく同じカード比率で組んだデッキでも、バベルデッキのほうが格段に事故比率が高まるのです。事故が多いというのは、マナフラッドもマナショートも両方起きやすいということです。それは何故でしょうか？非科学的な根拠やデッキの切りにくさによる偏りなどの問題ではありません。それこそが、分散の寄与なのです。《ちょっとすごいショック》が《稲妻》より勝っていたのは期待値でも確率でもなく、この分散がいい方向に大きかった結果です。ここでは分散の計算の仕方を説明せずに分散の意義を書いていきましょう。

理系向けの譬え話をしましょう。物理に興味が薄いなら数行読み飛ばして下さい。熱力学で使う熱浴という概念をご存知でしょうか。それは温かいプールであって、どんな冷たいものを入れても温度が一定であり続け、時間を賭ければ入れたものが全て熱浴と同じ温度になってしまうという仮想の物体です。なで実在しないかというと、冷たいものを温かいプールに入れれば熱力学の第一法則によってプールが少し冷めるからです。熱浴はプールの体積を無限大だとみなすことで熱容量も無限大に発散させたもので、すなわち十分大きなプールを近似したものなのですね。ライブラリーもプールのようなものです。1枚引いた程度ではあまりライブラリーの構成は変わりませんが、まったく変わらないかといえば嘘になりますね。ですがライブラリーの枚数が増えれば増えるほど、1枚引いた前後でのライブラリーの状態は変わらなくなり、近似してライブラリーの枚数が無限大であると考えると、それは熱浴のようにドローの前後でまったく変化しない存在になります。熱浴のように枚数が無限大のライブラリーであれば、カードを7枚引いた時、1枚目が土地であっても2枚目が土地である確率は変わらず、結局7枚の土地比率がどうなるか、０：７なのか２：５なのか４：３なのか、は初期状態のライブラリー内の土地比率のみから決まる重み付き二項分布になります。初期状態の分布だけで決まるのは期待値と似ていますね。期待値を最初に説明した時に１つのイベントを同じ条件で反復した場合の平均であると強調しましたが、まさにこの無限枚のライブラリーにとって1枚ずつ引いていくというイベントは同じ条件での繰り返しなわけです。対してライブラリーの枚数が有限であり1枚引いた前後の状態変化が無視できない場合、7枚の土地比率はどんどん重み付き二項分布からずれていくのです。どうずれていくかといいますと、期待値に沿った土地比率に近いパターンが出現しやすくなります。一番極端な例だと、ライブラリー枚数が7枚であれば7枚引いた時の土地比率が期待値と完全に一致するパターンしか起きないことが容易に分かりますね。期待値に沿った土地比率に近くなりやすいということは、その分期待値が重要な情報になりやすいということです。つまり、ある量の分散値が低ければ低いほどその量の期待値は信頼のできる指標になります。もちろん先程挙げたような閾値がある場合は期待値の意味が薄れますが、期待値に意味がある状況下では分散が高いかどうかを見ることでその期待値を信用していいかどうかが分かるのですね。

バベルの話に戻ると、デッキ枚数が多ければ多いほど分散値が高くなり初手7枚のカード比率は二項分布に従い、デッキ枚数が少なければ少ないほど初手7枚のカード比率はあまりぶれがなくなります。すなわち、バベルは初手7枚のばらつきが激しく、期待値で予想される平均的な挙動があまり望めないため60枚デッキと同じカード比率でも事故が起きる確率が高いのです。以上のことから、
・デッキが４０枚のリミテではカード比率をいつもより重視すべきで、
・デッキが６０枚の構築ならカード比率に加えライブラリー操作などによる安定性が活きてきて、
・デッキが９９枚のEDHにおいては土地比率をいじってもマナフラッドとマナショートの起きる確率の合計は高く、サーチやドローが重要になる
ということが分かりますね。事故の危険性を考えると安易にデッキ枚数は増やすべきではないのです。とはいってもデッキ枚数の少なさは必ずしも正義ではなく、
・サーチしてこそ強いような１枚挿しはデッキ枚数が多ければ多いほど強く、
・デッキ枚数を数枚増やすことで初めて実現できるカード比率もある
ということは十分デッキ枚数を増やす理由になります。60枚デッキを調整した結果土地枚数が24枚では少なく25枚では多いと感じて中間の24.5枚程度にしたい、と思ったならもはや60枚デッキにこだわらずに61枚デッキで25:36で組んでみる価値があります。もちろんそれで分散値が増え望ましい安定性が得られないことは存分に考えられますが、試す価値の無いアイデアではないわけですよね。

分散という概念は事故の多さ・安定性を測ることのできる点で、期待値と大きく性質を異にします。そもそも事故を減らしたいと思うなら土地周りやドロー周りの期待値を調べるだけでは不十分であるにもかかわらず、「３ターン目までに引ける土地枚数の期待値は4枚なのに2枚で止まった、明らかに運がないだけだから仕方ない」と考えてしまってはいないでしょうか？運がないのは確かかもしれませんが、それは期待値に関係ありません。３ターン目に土地を安定して３枚置きたいのでしたら土地枚数を調整して期待値を挙げるのではなく軽量ドロー等を駆使して分散値を下げる方が直接的です。期待値はこういった場面でも過信されている状況が少なくはないのが現状で、そこに警鐘を鳴らすことが大事だと感じました。

分散の意義については理解していただけたでしょうか？分散の計算法は調べれば簡単に分かりますので興味がありましたら調べてみましょう。ですが多くの場合、分散の具体値自体が重要なのではなく分散が多そうだ、少なさそうだという意識を持てることが重要だと思います。これまで期待値を盲信してきた方がいらっしゃるならば、期待値を計算する前に「本当に期待値を信用するに足るほど分散値が少ないかな？」と一度考えていただければというのが今回の記事の一番大きな意図でした。


たかしまくん「なるほど、これからは61枚デッキも試してみようと思います。」
たかしくん「僕もバベルバベルと浮かれていました。少しデッキ構築を見直してみます。」
さかしまくん「じゃあ僕はバベル使います。かぶっていて使うのを敬遠していたんですよね。」
たかしくん「！？」

ひみつ日記でたかしくんたち３人がMTGのルールに立ち向かう連載記事MTGとりびあ（http://himajin.diarynote.jp/201207161549371261/）も合わせてお楽しみ下さい。（宣伝）